Pendahuluan

Bayangkan Anda pergi ke warung untuk membeli beberapa roti. Harga satu roti adalah Rp4.000. Jika membeli 2 roti, harganya Rp8.000. Jika membeli 3 roti, harganya Rp12.000. Sampai di sini, kita masih bisa menghitung satu per satu.

Tetapi bagaimana jika kita ingin membicarakan jumlah roti berapa pun?

Kita dapat menulis:

\[ \text{total harga} = 4000 \times \text{jumlah roti} \]

Kalimat itu sudah benar, tetapi agak panjang. Aljabar membantu kita menuliskannya dengan lebih ringkas. Misalnya kita pakai huruf \(r\) untuk menyatakan jumlah roti. Maka:

\[ \text{total harga} = 4000r \]

Huruf \(r\) di sini bukan hiasan. Huruf itu adalah nama sementara untuk suatu besaran, yaitu jumlah roti. Jika \(r = 2\), total harga menjadi \(4000 \times 2 = 8000\). Jika \(r = 5\), total harga menjadi \(4000 \times 5 = 20000\). Satu bentuk singkat, yaitu \(4000r\), dapat mewakili banyak kemungkinan.

Inilah salah satu alasan utama matematika menggunakan huruf: huruf memungkinkan kita membicarakan sesuatu yang belum diketahui, dapat berubah, atau ingin dibicarakan secara umum. Dalam pendidikan matematika, aljabar memang sering dipahami bukan hanya sebagai cara “memindah-mindahkan simbol”, tetapi sebagai cara menyatakan pola, hubungan, fungsi, dan generalisasi secara ringkas (Kaput, 2008; Kieran, 1992).

Aljabar dimulai dari kebutuhan yang sederhana

Kata aljabar sering terdengar menakutkan karena di dalamnya ada huruf, tanda sama dengan, tanda kurang dari, grafik, dan rumus. Namun inti awalnya sangat dekat dengan kehidupan sehari-hari.

Ketika seseorang bertanya:

“Kalau uang saya Rp50.000 dan saya membeli beberapa pensil seharga Rp3.000 satu buah, berapa sisa uang saya?”

kita sedang membicarakan hubungan antara beberapa besaran.

Besaran adalah sesuatu yang dapat diukur, dihitung, atau dibandingkan. Contohnya:

• jumlah pensil,
• harga barang,
• umur seseorang,
• jarak perjalanan,
• waktu yang dipakai,
• banyak air dalam botol,
• tinggi badan,
• jumlah uang.

Jika jumlah pensil belum ditentukan, kita bisa memberi nama sementara. Misalnya \(p\) berarti banyak pensil. Maka biaya pensil adalah:

\[ 3000p \]

Sisa uang adalah:

\[ 50000 - 3000p \]

Bentuk seperti \(50000 - 3000p\) disebut ekspresi aljabar. Untuk sekarang, cukup pahami bahwa ekspresi adalah susunan angka, huruf, dan operasi hitung yang menyatakan suatu nilai. Ekspresi tidak selalu langsung memberi satu jawaban, karena nilainya bergantung pada nilai hurufnya.

Jika \(p = 4\), maka:

\[ 50000 - 3000p = 50000 - 3000(4) = 50000 - 12000 = 38000 \]

Jika \(p = 10\), maka:

\[ 50000 - 3000p = 50000 - 3000(10) = 50000 - 30000 = 20000 \]

Jadi, huruf membuat kita tidak perlu menulis ulang seluruh cerita untuk setiap kemungkinan. Huruf membantu kita menyimpan pola.

Huruf dalam matematika mempunyai peran

Di luar matematika, huruf biasanya dipakai untuk menulis kata: “buku”, “rumah”, “makan”, “jalan”. Dalam aljabar, huruf dipakai dengan cara khusus. Huruf dapat menjadi variabel.

Variabel adalah simbol, biasanya berupa huruf, yang mewakili suatu nilai yang belum diketahui, dapat berubah, atau ingin dibicarakan secara umum. Peneliti pendidikan matematika sering menekankan bahwa variabel tidak hanya memiliki satu makna; variabel dapat dipakai sebagai bilangan yang belum diketahui, sebagai bilangan umum, atau sebagai besaran yang berubah dalam suatu hubungan (Usiskin, 1988).

Perhatikan tiga contoh berikut.

Pertama, huruf sebagai sesuatu yang belum diketahui:

\[ x + 5 = 12 \]

Di sini \(x\) berarti “bilangan berapa yang jika ditambah 5 menjadi 12?” Nilainya satu, yaitu \(x = 7\).

Kedua, huruf sebagai wakil umum:

\[ a + b = b + a \]

Kalimat ini menyatakan bahwa urutan penjumlahan dua bilangan dapat ditukar. Misalnya \(3 + 8 = 8 + 3\), dan \(10 + 2 = 2 + 10\). Di sini \(a\) dan \(b\) tidak sedang dicari sebagai satu jawaban tertentu. Huruf-huruf itu membantu kita mengatakan aturan umum.

Ketiga, huruf sebagai besaran yang berubah:

\[ \text{jarak} = 60t \]

Jika seseorang berkendara dengan kecepatan tetap 60 km per jam, maka \(t\) dapat menyatakan waktu dalam jam. Jika \(t = 1\), jaraknya 60 km. Jika \(t = 2\), jaraknya 120 km. Jika \(t = 0{,}5\), jaraknya 30 km. Di sini \(t\) dapat berubah, dan jarak ikut berubah.

Tiga contoh ini penting karena banyak kebingungan aljabar muncul ketika semua huruf dianggap sama. Padahal, huruf dapat berperan sebagai “yang dicari”, “wakil umum”, atau “besaran yang berubah”.

Tanda sama dengan bukan hanya tanda “jawabannya”

Sebelum belajar aljabar, banyak orang terbiasa melihat tanda sama dengan seperti ini:

\[ 7 + 3 = 10 \]

Lalu muncul kebiasaan membaca tanda sama dengan sebagai “hasilnya adalah”. Kebiasaan ini berguna, tetapi belum cukup untuk aljabar.

Dalam aljabar, tanda sama dengan berarti dua sisi memiliki nilai yang sama. Misalnya:

\[ x + 4 = 10 \]

Ini bukan sekadar perintah untuk menghitung. Ini adalah pernyataan bahwa sisi kiri, yaitu \(x + 4\), harus sama nilainya dengan sisi kanan, yaitu 10. Kita mencari nilai \(x\) yang membuat keseimbangan itu benar.

Bayangkan timbangan. Di kiri ada kotak berisi \(x\) dan tambahan 4 kg. Di kanan ada 10 kg. Agar seimbang, kotak itu harus berisi 6 kg. Maka:

\[ x = 6 \]

Pandangan “persamaan sebagai keseimbangan” akan sering kita gunakan dalam buku ini, terutama ketika mulai menyelesaikan persamaan satu langkah dan beberapa langkah.

Aljabar membantu kita berpikir lebih jauh dari satu kasus

Aritmetika biasanya menjawab pertanyaan tertentu, misalnya:

\[ 8 + 5 = 13 \]

Aljabar membantu kita melihat pola di balik banyak pertanyaan. Misalnya:

\[ n + 5 \]

Bentuk ini dapat berarti “suatu bilangan ditambah 5”. Jika \(n = 8\), nilainya 13. Jika \(n = 20\), nilainya 25. Jika \(n = 100\), nilainya 105.

Jadi, aljabar tidak membuang aritmetika. Aljabar justru memperluasnya. Kita tetap memakai penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, tetapi sekarang kita juga belajar membicarakan bilangan yang belum ditentukan. Kieran (1992) menjelaskan bahwa belajar aljabar melibatkan pergeseran dari sekadar menghitung jawaban numerik menuju memahami struktur, operasi, dan hubungan antarsimbol.

Contoh sederhana:

\[ 3(x + 2) \]

Bentuk ini berarti “tiga kali jumlah \(x\) dan 2”. Jika \(x\) adalah banyak buku dalam satu kotak, maka \(x + 2\) berarti “banyak buku dalam satu kotak setelah ditambah 2 buku”. Tiga kali bentuk itu berarti ada 3 kotak dengan jumlah yang sama.

Kita dapat menulisnya juga sebagai:

\[ 3x + 6 \]

Mengapa? Karena tiga kelompok yang masing-masing berisi \(x + 2\) sama dengan tiga kelompok \(x\) dan tiga kelompok 2:

\[ 3(x + 2) = 3x + 6 \]

Ini bukan trik hafalan. Ini adalah cara menulis hubungan yang sama dalam bentuk berbeda. Nanti, kita akan belajar menyederhanakan ekspresi seperti ini tanpa mengubah maknanya.

Buku ini akan membangun bahasa itu pelan-pelan

Buku ini disusun untuk pembaca pemula yang mungkin pernah merasa:

“Mengapa tiba-tiba ada huruf dalam matematika?”

Pertanyaan itu wajar. Bahkan, pertanyaan itu adalah pintu masuk yang baik. Jika kita memahami alasan huruf dipakai, aljabar tidak lagi terasa seperti kumpulan aturan asing.

Kita akan mulai dari benda nyata dan situasi sehari-hari: harga, umur, jarak, waktu, jumlah barang, dan pola. Dari sana, kita belajar memberi nama pada besaran. Lalu kita memakai huruf sebagai variabel. Setelah itu, kita menulis ekspresi, membaca ekspresi, mengganti huruf dengan angka, dan memahami bentuk-bentuk yang bernilai sama.

Kemudian kita masuk ke persamaan. Persamaan akan dilihat sebagai timbangan yang seimbang, bukan sebagai teka-teki simbol semata. Setelah itu, kita belajar ketaksamaan, yaitu kalimat matematika yang menyatakan batas, seperti “kurang dari”, “lebih dari”, “paling banyak”, atau “sedikitnya”.

Di bagian berikutnya, kita akan melihat pola, tabel, fungsi, koordinat, dan grafik. Semua itu bukan topik yang terpisah-pisah. Semuanya adalah cara berbeda untuk membicarakan hubungan antarbesaran. Misalnya hubungan antara waktu dan jarak, jumlah barang dan total harga, atau banyak tabungan dan lama menabung. Gagasan bahwa aljabar dapat dipahami sebagai bahasa untuk hubungan dan generalisasi juga menjadi salah satu tema penting dalam kajian pembelajaran aljabar (Kaput, 2008).

Cara berpikir yang akan kita latih

Saat belajar aljabar, tujuan kita bukan hanya mendapatkan jawaban akhir. Kita juga ingin belajar bertanya:

• Apa yang diketahui?
• Apa yang belum diketahui?
• Besaran apa yang berubah?
• Besaran apa yang tetap?
• Hubungan apa yang mengikat besaran-besaran itu?
• Bagaimana hubungan itu ditulis dengan kalimat, tabel, ekspresi, persamaan, atau grafik?
• Apakah jawaban kita masuk akal?

Misalnya ada masalah:

“Sebuah ojek daring mengenakan biaya awal Rp5.000 dan biaya Rp2.000 untuk setiap kilometer. Berapa biaya untuk perjalanan sejauh \(k\) kilometer?”

Kita dapat mengenali:

• biaya awal: Rp5.000,
• biaya per kilometer: Rp2.000,
• jarak: \(k\) kilometer,
• total biaya: \(5000 + 2000k\).

Jika \(k = 3\), total biaya:

\[ 5000 + 2000(3) = 11000 \]

Jika \(k = 10\), total biaya:

\[ 5000 + 2000(10) = 25000 \]

Ekspresi \(5000 + 2000k\) menyimpan aturan umum. Inilah kekuatan aljabar: satu tulisan singkat dapat menjelaskan banyak keadaan.

Tidak perlu takut pada simbol

Simbol matematika memang padat. Satu baris pendek bisa menyimpan banyak makna. Tetapi padat bukan berarti tidak bisa dipahami. Kita hanya perlu membongkarnya pelan-pelan.

Contoh:

\[ 2x + 5 \]

Bentuk ini dapat dibaca sebagai:

“Dua kali suatu nilai, lalu ditambah lima.”

Jika \(x\) berarti harga satu buku dalam ribuan rupiah, maka \(2x + 5\) dapat berarti:

“Harga dua buku ditambah 5 ribu rupiah.”

Jika \(x = 12\), maka:

\[ 2x + 5 = 2(12) + 5 = 24 + 5 = 29 \]

Artinya 29 ribu rupiah.

Simbol menjadi lebih ramah ketika kita selalu menghubungkannya dengan makna. Jangan hanya bertanya, “Rumusnya apa?” Tanyakan juga, “Huruf ini mewakili apa?” dan “Operasi ini menceritakan hubungan apa?”

Janji buku ini

Buku ini tidak akan menganggap Anda sudah nyaman dengan huruf dalam matematika. Kita akan membangun pemahaman dari awal. Setiap istilah penting akan dijelaskan, lalu diberi contoh. Setiap bentuk simbol akan dihubungkan dengan makna.

Anda tidak perlu menghafal semuanya sekaligus. Yang perlu dilakukan adalah membaca dengan sabar, mencoba contoh, berhenti ketika bingung, lalu bertanya kembali:

“Besaran apa yang sedang dibicarakan?”

Jika pertanyaan itu mulai terasa alami, Anda sudah mulai berpikir secara aljabar.

Aljabar bukan musuh. Aljabar adalah bahasa. Dan seperti bahasa lain, ia menjadi lebih mudah ketika sering dipakai untuk menyatakan hal-hal yang nyata: harga, jarak, waktu, pola, pilihan, batas, dan perubahan.

Kita mulai dari pertanyaan paling dasar:

Mengapa matematika memakai huruf?

Itulah pintu masuk Bab 1.

References

Kaput, J. J. (2008). What is algebra? What is algebraic reasoning? In J. J. Kaput, D. W. Carraher, & M. L. Blanton (Eds.), Algebra in the Early Grades. Lawrence Erlbaum Associates.

Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan.

Usiskin, Z. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. In A. F. Coxford & A. P. Shulte (Eds.), The Ideas of Algebra, K–12: 1988 Yearbook. National Council of Teachers of Mathematics.